Matematika ekonomi merupakan ilmu yang digunakan sebagai pendekatan dalam mempelajari analisis ekonomi. Ahli ekonomi menggunakan simbol-simbol matematis untuk menyatakan permasalahan ekonomi serta menggunakan dalil-dalil matematis untuk membantu pembahasan masalah tersebut. Matematika ekonomi digunakan dalam berbagai ilmu lain seperti, ekonomi mikro, ekonomi makro, metode kuantitatif, ekonomi keuangan, serta ilmu-ilmu lain yang membutuhkan alat analisis dalam pendekatannya
Fungsi dari mempelajari Matematika Ekonomi dan Bisnis yaitu :
Tujuan mempelajari Matematika Ekonomi dan Bisnis yaitu :
Kegunaan dari Matematika Ekonomi dan Bisnis yaitu :
Fungsi dari mempelajari Matematika Ekonomi dan Bisnis yaitu :
- Memberikan pemahaman tentang matematika sebagai alat bantu menganalisis model-model ekonomi
- Sebagai rencana bisnis dan pembangunan untuk skala menengah dan skala kecil
- Mengelola dan menilai rencana bisnis dengan tepat
- Menyusun alternatif sasaran sehingga memudahkan dalam perhitungannya
Tujuan mempelajari Matematika Ekonomi dan Bisnis yaitu :
- Mencirikan dan menggambarkan bentuk fungsi permintaan dan penawaran dari suatu barang/ jasa dan menentukan titik keseimbangan pasar yang terjadi
- Menghitung besarnya pajak yang ditetapkan terhadap suatu barang/jasa
- Menuliskan dan menggambarkan grafik dari fungsi permintaan/penawaran serta titik keseimbangan pasar yang baru akibat kena pajak
- Menghitung besarnya subsidi yang ditetapkan terhadap suatu barang/jasa
- Menuliskan dan menggambarkan grafik dari fungsi permintaan/penawaran serta titik keseimbangan pasar yang baru akibat adanya subsidi
- Menghitung besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang/jasa
Kegunaan dari Matematika Ekonomi dan Bisnis yaitu :
- Memberikan pengetahuan, wawasan dan kemampuan dalam memanfaatkan teori atau konsep matematika dalam analisis ekonomi, terutama dalam masalah maksimisasi,minimisasi dan optimisasi
- Sebagai penerapan dalam analisis ekonomi
- Dapat menggunakan pemahaman fungsi untuk menyelesaikan persoalan dalam bisnis dan ekonomi
- Memudahkan dalam menghitung indikator dan prediksi ekonomi
FUNGSI KUADRAT
Fungsi kuadrat merupakan fungsi polinom berderajat dua dengan kurvanya berbentuk parabola atau kurva kuadratik (quadratic curve). Dalam bentuk persamaan, secara umum persamaan kuadrat dituliskan sebagai Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, supaya persamaan kuadrat memiliki grafik tertentu, maka haruslah paling sedikit parameter A dan C tidak sama dengan nol.
Jika B = 0, A ≠ 0, dan C ≠ 0, maka kurvanya berupa lingkaran
Jika B2 – 4AC < 0, maka kurvanya berupa ellips
Jika B2 – 4AC = 0, maka kurva parabola
Jika B2 – 4AC > 0, maka kurvanya berbentuk hiperbola
PERSAMAAN KUADRAT (KURVA PARABOLA)
Secara umum, persamaan kuadrat dituliskan sebagai ax2 + bx + c = 0 atau dalam bentuk fungsi dituliskan sebagai f(x) = ax2 + bx + c. Sifat matematis dari persamaan kuadrat yang menentukan bentuk kurva parabolanya adalah koefisien a dan diskriminan D = b2 – 4ac.
Jika a > 0, maka kurva parabola terbuka ke atas, sedangkan jika a < 0, maka kurva parabolanya terbuka ke bawah. Jadi jika a > 0 akan ada titik ekstrim minimum dan jika a < 0 akan ada titik ekstrim maksimum.
Jika D > 0, maka kurva parabola memotong sumbu-x di dua titik, jika D = 0, maka kurva parabola akan memotong sumbu-x di satu titik, dan jika D < 0, maka kurva parabola tidak memotong sumbu-x.
f(x) f(x) f(x)
a > 0 a > 0 a > 0
D > 0 D = 0 D < 0
x 0 x 0 x
f(x) f(x) f(x)
a < 0 dan D = 0 a < 0 dan D < 0
a < 0 0 x 0 x
D > 0
0 x
Kurva parabola adalah kurva untuk fungsi kuadrat, sedangkan fungsi kuadrat adalah salah satu fungsi non linear, dimana variabel bebas (x) berpangkat paling tinggi dua.
Untuk menggambarkan kurva parabola suatu fungsi kuadrat dapat ditempuh dua cara, yaitu:
Tracing process curve, yaitu dengan menentukan lebih dulu nilai x, kemudian disubstitusikan ke dalam fungsinya sehingga diperoleh nilai y. Cara ini kurang efisien, karena diperlukan beberapa pasangan x dan y yang cukup banyak, paling sedikit 8 pasangan x dan y. Misalkan untuk menggambarkan kurva parabola dari fungsi kuadrat: y = x2 – 5x + 6 digunakan pasangan x dan y sebagai berikut:
x – 2 – 1 0 1 2.5 2 3 4 5
y 20 12 6 2 – 0.25 0 0 2 6
Sehingga bila koordinat (x,y) diplot ke dalam koordinat kartesian akan diperoleh kurva sebagai berikut:
y y = x2 – 5x + 6
(0,6)
0 2 3 x
(2.5;-0.25)
Dengan menggunakan sifat-sifat matematis fungsi kuadrat, sebagai berikut
Tentukan tipot kurva dengan sb-y dengan memisalkan x = 0
Tentukan tipot kurva dengan sb-x dengan memisalkan y = 0, sehingga ax2 + bx + c = 0 akan memiliki tiga kemungkinan solusi, yaitu:
Bila diskriminan D = b2 – 4 ac > 0, maka akan terdapat dua tipot kurva dengan sb-x yang diperoleh dengan rumus berikut:
x_1,2=(-b±√(b^2-4ac))/2a
Bila D = 0, maka akan ada satu tipot kurva dengan sb-x, yaitu:
x_1=x_2=(-b)/2a
Bila D < 0, maka tidak akan ada tipot kurva dengan sb-x
Titik ekstrim kurva parabola diperoleh dengan rumus:
((-b)/2a,(-D)/4a)
Tentukan sumbu simetris yang membagi kurva parabola menjadi dua bagian yang sama. Garis sumbu simetris ini melewati titik ekstrim, persamaan garis simetris ini adalah:
x=(-b)/2a
Diketahui fungsi kuadrat y = – x 2 + 6x – 9, gambarkan kurva fungsi kuadrat tersebut dengan menggunakan sifat-sifat matematis.
Tipot kurva dengan sb-y, misalkan x = 0 → y = – 9, sehingga tipotnya (0,-9)
Tipot kurva dengan sb-x, misalkan y = 0 → – x2 + 6x – 9 = 0 karena D = b2 – 4ac D = 36 – 4(– 1)(– 9) = 0, maka hanya ada satu tipot yaitu x1 = x2 = (-6/-2) = 3 → (3,0)
Titik ekstrimnya merupakan titik ekstrim maksimum → (3,0)
Sumbu simetrisnya adalah x = 3
y
(3,0) x
y = – x 2 + 6x – 9
(0,-9)
APLIKASI KURVA PARABOLA (FUNGSI KUADRAT) DALAM EKONOMI
Aplikasi fungsi kuadrat dalam bisnis dan ekonomi diantaranya:
Fungsi permintaan
Fungsi penawaran
Keseimbangan pasar
Kurva transformasi produk atau kurva kemungkinan produksi
FUNGSI PERMINTAAN
Contoh 1:
Diketahui fungsi permintaan suatu barang adalah y = x2 – 7x + 12 dimana y adalah harga (P) dan x adalah kuantitas (Q). Gambarkan kurvanya.
Tipot dengan sb-y: Misalkan x = 0 → y = 12 → tipot (0,12)
Tipot dengan sb-x: Misalkan y = 0 → x2 – 7x + 12 = 0
Karena D = 49 – 4(1)(12) = 1 → D > 0, maka ada dua tipot dengan sb-x, yaitu:
x2 – 7x + 12 = 0 → (x – 3)(x – 4) = 0 → x1 = 3 dan x2 = 4 → tipot (3,0) dan (4,0)
Karena a > 0, maka kurva parabola terbuka ke atas → Titik ekstrim minimum
((-b)/2a,(-D)/4a) →(7/2,-1/4)
y
(0,12)
y = x2 – 7x + 12
0 (3,0) (4,0) x
Berdasarkan kurva permintaan di atas, tampak bahwa fungsi permintaan y = x2 – 7x + 12 berlaku untuk interval jumlah permintaan 0 ≤ x ≤ 3 dan harga permintaan 0 ≤ y ≤ 12
Atau fungsi permintaan di atas dinyatakan dengan:
P = Q2 – 7Q + 12 untuk 0 ≤ Q ≤ 3 dan 0 ≤ P ≤ 12
Contoh 2:
Diketahui fungsi permintaan suatu barang y = – x2 – x + 12, dimana y adalah harga (P) dan x adalah kuantitas (Q). Gambarkan kurvanya.
Tipot dengan sb-y: Misalkan x = 0 → y = 12 →tipot (0,12)
Tipot dengan sb-x: Misalkan y = 0 → – x2 – x + 12 = 0
Karena D = 1 – 4(– 1) (12) = 49 → D > 0, maka terdapat dua tipot dengan sb-x, yaitu:
– x2 – x + 12 = 0 → (x + 4)(– x + 3) = 0 → → x1 = – 4 dan x2 = 3 → tipot (– 4,0) dan (3,0)
Karena a < 0, maka kurva parabola terbuka ke bawah → titik ekstrim maksimum
((-b)/2a,(-D)/4a) →(-1/2,49/4)
y
(0,12)
y = – x2 – x + 12
(– 4, 0) 0 (3,0) x
Berdasarkan kurva permintaan di atas, tampak bahwa fungsi permintaan y = – x2 – x + 12 berlaku untuk interval jumlah permintaan 0 ≤ x ≤ 3 dan harga permintaan 0 ≤ y ≤ 12
Atau fungsi permintaan di atas dinyatakan dengan:
P = – Q2 – Q + 12 untuk 0 ≤ Q ≤ 3 dan 0 ≤ P ≤ 12
FUNGSI PENAWARAN
Diketahui fungsi penawaran sejenis barang adalah y = x2 + 3x + 2, dimana y adalah harga (P) dan x adalah kuantitas (Q). Gambarkan kurvanya.
Tipot dengan sb-y: Misalkan x = 0 → y = 2
Tipot dengan sb-x: Misalkan y = 0 → x2 + 3x + 2 = 0
Karena D = 9 – 4(1) (2) = 1 → D > 0, maka terdapat dua tipot dengan sb-x, yaitu:
x2 + 3x + 2 = 0 → (x + 1)( x + 2) = 0 → → x1 = – 1 dan x2 = – 2 → tipot (– 1,0) dan (– 2,0)
Karena a > 0, maka kurva parabola terbuka ke atas → titik ekstrim minimum
((-b)/2a,(-D)/4a) →(-3/2,-1/4)
y
y = x2 + 3x + 2
(0,2)
(–2,0) (–1,0) 0 x
Berdasarkan kurva penawaran di atas, tampak bahwa fungsi penawaran y = x2 + 3x + 2 berlaku untuk interval jumlah penawaran x ≥ 0 dan harga permintaan y ≥ 2
atau fungsi permintaan di atas dinyatakan dengan:
P = Q2 + 3Q + 2 untuk Q ≥ 0 dan P ≥ 2
KESEIMBANGAN PASAR (MARKET EQUILIBRIUM)
Keseimbangan pasar terjadi ketika jumlah permintaan sama dengan jumlah penawaran atau Qd = Qs, harga yang tercipta pada keseimbangan pasar merupakan harga keseimbangan (Pe).
Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran sejenis barang adalah:
D: y = x2 – 7x + 12
S: y = x2 + 3x + 2
Tentukan keseimbangan pasarnya dan gambarkan kurvanya.
Jawab: Pada keseimbangan pasar berlaku Qd = Qs atau Pd = Ps, sehingga keseimbangan pasar dapat diselesaikan dengan substitusi:
x2 – 7x + 12 = x2 + 3x + 2 → 10x = 10 → x =1 dan y dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai x = 1 ke dalam fungsi permintaan atau fungsi penawaran, sehingga diperoleh nilai y sebagai y = (1)2 + 3(1) + 2 =6. Jadi keseimbangan pasar tercapai pada E(1,6).
y
(0,12) y = x2 + 3x + 2
y = x2 – 7x + 12
–2 –1 0 1 3 4 x
PR:
Tentukan keseimbangan pasarnya dan gambarkan kurvanya, jika diketahui fungsi permintaan dan penawarannya adalah:
D: 2Q + P – 10 = 0 dan S: P2 – 8Q – 4 = 0
D: Q2 + 5Q – P + 1 = 0 dan S: 2Q2 + P – 9 = 0
D: P2 + P + Q – 20 = 0 dan S: 2P2 – Q – 3P – 4 = 0
FUNGSI KUBIK
Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga. Setiap fungsi kubik setidak - tidaknya mempunyai sebuah titik belok (inflextion point), yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau cembung menjadi cekung. Selain titik belok, sebuah fungsi kubik mungkin pula mempunyai satu titik ekstrim (maksimum atau minimum) atau titik dua ekstrim (maksimum atau minimum). Ada tidaknya titik ekstrim dalam suatu fungsi kubik tergantung pada besarnya nilai-nilai b, c, dan d di dalam persamaannya. Dengan demikian terdapat beberapa kemungkinan mengenai bentuk kurva suatu fungsi kubik. Fungsi-fungsi kubik hanya mempunyai titik belok, tanpa titik ekstrim.
Fungsi Kubik
Mencari :
Titik Ekstrims
Titik Belok
Y = f(X)
Titik Ekstrims pada saat Y’ = 0
Titk Maksimum : Y’’ < 0, pada Y’ =0
Titk Minimum : Y’’ > 0, pada Y’ = 0
Titik belok : Y’’ = 0 , kemudian substitusikan ke fungsi asal, yi Y = f(X)
Misal : C =1/3Q3 -3Q2 +8Q +5
C = Y dan Q = X (analogi rumus)
Penyelesaian :
C’ = 0 , maka 0 = Q2 -6Q +8
0 = (Q – 4) (Q – 2)
Q1 = 4 dan Q2 = 2
C’’ = 0 , maka 0 = 2Q – 6
Q1 = 4, maka 0 = 2 (4) – 6 = 2 ;(2>0)
Pada Q1 = 4 merupakan titik minimum
Q1 = 4 ;C=1/3(4)3 – 3(4)2 +8(4) +5 =10,33
Jadi pada Q1 =4,merupakan titik minimum pada (4 ; 10,33)
Q2 = 2 , pada C’’ = 2(2)-6 = -2 ;(-2<0)
Sehingga pada Q2 = 2 merupakan titik maksimum .
Q2 = 2, maka C = 1/3(2)3 – 3(2)2 +B(2)+5 = 11,67
Titik maksimum pada (2 ; 11,67)
Mencari titik belok
Titik belok pada saat C’’ = 0
C’’ = 2Q -6 ; 2Q -6 = 0, maka Q =3
Q = 3 , maka C =1/3(3)3 – 3(3)2 =*(3) +5 = 11
Titik belok pada (3 ; 11)
APLIKASI DIFERENSIAL
Elastisitas Permintaan
Elastisitas Penawaran
Elastisitas Produksi
Biaya Marjinal
Penerimaan Marjinal
Analisis Keuntungan Maksimum
Elastisitas Permintaan
Ed = EQd = lim (∆Qd /Qd ) = dQd . P
EP ∆p 0 (∆P/ P ) dP Qd
Sifat elastisitas :
[Ed] > 1 = elastis ; ∆Qd > ∆P
[Ed] < 1 = inelastis ; ∆Qd < ∆P
[Ed] = 1 = unitary elastis ; ∆Qd = ∆P
Contoh Soal :
Permintaan suatu barang : Qd = 25 – 3P2
Apabila P = 5, berapa elastisitas permintaannya :
Qd = 25 – 3P2 ; Q’d = -6P
Ed = -6 P. P
25 – 3P2 = 3 (elastik)
Contoh : elastisitas penawaran dan elastisitas produksi (baca di buku Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi ; Dumairy ; BPFE Yogyakarta).
Elastisitas Penawaran
Suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga.
Es = EQs = lim (∆Qs /Qs ) = dQs . P
EP ∆p 0 (∆P/ P ) dP Qs
Elastisitas Produksi
Suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah output yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah input.
Ep = EP = lim (∆P /P ) = dP . X
EX ∆x 0 (∆X/ X ) dX P
P = output
X = input
BIAYA MARJINAL
Merupakan biaya tambahan yang dikeluarkan utk menghasilkan satu unit tambahan produk.
MC = C’ = dC
dQ
PENERIMAAN MARJINAL
Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit output yang diproduksi atau terjual.
MR = R’ = dR
dQ
Biaya Marjinal
C = Q3 – 3Q2 + 4Q +4
MC = C’ = 3Q2 – 6Q +4
MC minimum jika MC’ = 0
MC’ = 6Q -6 =0, maka Q = 1 dan nilai C = 13 – 3(1)2 +4(1) + 4 = 6
Analisis Keuntungan Maksimum
∏ = R – C = f(Q)
∏ optimum apabila ∏’ = 0 atau MR =MC
Jika ∏’’ < 0 pada ∏ maksimum , maka keuntungan maksimum
Jika ∏’’ > 0 pada ∏ minimum , maka kerugian maksimum
Contoh soal:
R =-2Q2 + 1000Q
C =- Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000
Carilah Q yang memberikan keuntungan maksimum dan berapa keuntungan maksimum tersebut.
Jawab:
∏’ = 0 ; -3Q2 + 114Q – 315 =0
-Q2 +38Q – 105 = 0
(-Q +3) (Q-35) =0
Q1 = 3 dan Q2 = 35
∏’’ = -6Q + 114
Jika Q1 = 3 , ∏’’ =-6(3) + 114 = 96>0
Jika Q2 =35, ∏’’ = -6(35) + 114
= -96<0
Karena ∏’’ <0 utk Q = 35 akan menghasilkan keuntungan maksimum sebesar :
∏ =-(35)3 +57(35)2 -315(35) – 2000 = 13.925
Comments
Post a Comment